Scomposizione in fattori: quadrato di trinomio e cubo di binomio

Abbiamo visto nelle lezioni precedenti l'importanza e l'utilità di scomporre un polinomio in fattori irriducibili; tra le tecniche più utilizzate c'è quella del raccoglimento totale e parziale , la differenza di quadrati, il quadrato di binomio o il trinomio speciale.

Non sempre, però, il polinomio da scomporre è composto da due o tre termini; in questo post vedremo come scomporre un polinomio utilizzando il quadrato di trinomio e il cubo di binomio.

QUADRATO DI TRINOMIO:

Immaginiamo di voler scomporre un polinomio del tipo

notiamo che è formato da sei termini, quindi tutti i modi di procedere basati sullo sviluppo dei prodotti notevoli visti in precedenza non possono essere usati; inoltre il raccoglimento parziale, se svolto, risulta infruttuoso.

Data la presenza di sei termini possiamo pensare alla formula risolutiva del quadrato di trinomio

Per prima cosa, individuiamo i tre quadrati

Una volta individuati i tre termini al quadrato, verifichiamo che i termini restanti sono i rispettivi doppi prodotti

Il termine che è stato trovato svolgendo il doppio prodotto è quello che compare nell'espressione salvo un segno meno; questo significa che occorre prendere come terzo termine non 3, ma -3

infatti

L'ultimo doppio prodotto sarà

In definitiva, possiamo scomporre il nostro polinomio come quadrato di trinomio

i passaggi appena svolti spiegano in dettaglio il ragionamento migliore per scomporre un polinomio di questo tipo, ma non è necessario replicarli ogni volta; acquisendo dimestichezza questo modo di procedere diverrà immediato.

CUBO DI BINOMIO

Immaginiamo di voler scomporre il seguente polinomio

il polinomio è composto da quattro termini quindi non possiamo utilizzare il metodo appena visto, inoltre osservandolo sono presenti dei cubi e non dei quadrati.

In questo caso ci viene in aiuto il cubo di binomio, ricordiamo la sua formula risolutiva

lo sviluppo del cubo di binomio presenta quattro termini esattamente come nel nostro caso.

In primis individuiamo i cubi

verifichiamo adesso che i termini restanti sono quelli presenti nella formula risolutiva

Possiamo riscrivere il polinomio come

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